亲历建构过程　凸显概念本质:以北师版数学教材三年级下册“认识分数——分一分（一）”为例

　　数学概念是数学学习的核心内容之一。教师要为学生提供与其生活背景和已有知识相关的素材，创设动手操作、观察比较、抽象推理、建立模型等学习活动，让学生在活动中思考、质疑、探究，经历数学概念的形成过程；要引导学生主动参与知识的建构，大胆创新、主动发展，养成良好的思维品质。
　　一、创设有效情境，感知概念背景 
　　概念的教学不仅要求学生理解概念本身，还要通过情境再现去亲身体验知识的发生、发展过程。心理学家布鲁纳认为学习是主动的过程，对学生学习内因的最好激发是激起学生对所学材料的兴趣，即主要来自学习活动本身的内在动机，这是直接推动学生主动学习的心理动机。有效的情境能调动学生的想象与情绪，打开学生的心灵之门，达到趣中生疑，疑中生思，从而激发其内驱力，使其更加专注地对问题进行探究。因此，在教学中，教师创设的情境要围绕概念产生的生活背景，在新知的生长点上创设难易适中，既能引起学生共鸣又有助于形成认知冲突，具有趣味性、挑战性、开放性的问题情境，从而加深学生对于数学概念的理解与认知，激发学生的探索欲望。
　　在课初引入环节，我创设了这样的情境：课件播放“熊爸爸分饼”的动画故事。 
　　第一天，熊爸爸做了4块饼，想分给两只小熊，要使每只小熊分得同样多，每只小熊分得几块？（2块）　
　　第二天，熊爸爸做了2块饼，想分给两只小熊，要使每只小熊分得同样多，每只小熊分得几块？（1块）
　　第三天，熊爸爸做了1块饼，想分给两只小熊，要使每只小熊分得同样多，每只小熊分得几块？（学生认为是半块）
　　这半块饼怎样表示？你能用什么方式表示这半块饼呢？（我让学生畅所欲言，充分展示不同的表示方法，并说说为什么这样表示，从而引出课题——认识分数。）
　　述片段，以熊爸爸分饼的动画故事导入新课，从每份是整数过渡到每份不是整数，进而自然引出了分数。1块饼平均分给两只小熊，每只小熊分得半块饼，这“半块”不能用整数表示，那应该如何表示呢？我没有直接把“分数”的概念呈现给学生，而是抛出问题，让学生产生困惑，引起认知冲突，经历心灵碰撞，最终激发了探索的欲望。这样，将抽象的数学概念变成可观察、可操作的学习材料，学生带着探求新知的欲望和疑问在教师的引领下积极思考，其主动探索，主体意识也能得到提升。
　　二、利用几何直观，触摸概念内涵
　　《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在数学教学中应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力，推理能力和模型思想。”借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，在许多情况下，数学的结果是“看”出来的，是在观察和思考基础上的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。借助几何直观理解数学概念的本质，可以把抽象难懂的概念通过图形生动形象的描述，把本质的东西显现出来，直观地呈现在学生面前，这样有助于学生对数学概念的深刻理解，使数学概念的教与学变得形象生动。因此，在教学中教师应重视利用几何直观帮助学生理解和掌握数学概念。一是要让学生学会看图，能够用图形描述概念特征、用图形讨论学习中的困惑，使学生从图中去理解、思考，发现理解概念的突破口，从而理解其内涵。二是要让学生学会根据题意画图，化复杂为简单，变抽象为具体。课堂上，教师不需要把现成的图直接呈现给学生，也不需要告诉他们怎样画，而是需要让学生在思考的过程中产生画图的需要，使其充分经历概念的形成过程，并在画图的活动中体会方法，触摸概念内涵。
　　在新知探索环节，从熊爸爸分饼的情境中，提出“怎样表示半块饼”这一问题后，我引导学生用数学符号、数字或画图表示“一半”。这在课堂上引起了学生较大的兴趣，学生通过思考、操作、交流，汇报了下面5种表示方法。（如图1）

　　生：我把1个圆平均分成2份，其中的1份画勾，表示半块饼。
　　生：我把1个圆平均分成2个半圆，1个半圆就表示半块饼。
　　生：我画了1个长方形，平均分成2份，左边的一半表示半块饼。
　　生：我在正方形中间画一条线，平均分成2个长方形，左边的长方形表示半块饼。
　　生：我画了1条线，平均分成2段，左边的一半表示半块饼。
　　生：我用2（1）表示半块饼。
　　生：我用1／2表示半块饼。
　　生：我用2／2表示半块饼。
　　生：我用2／1表示半块饼。
　　这时，我充分利用这些生成资源，让学生上台解释为什么这样表示，并对这些表示方法进行筛选、优化。用2／2表示的学生发现自己的表述有问题，站起来说：“我写的2／2，‘1份’没有表达清楚，应该有个‘1’才对。”用2／1表示的学生也提出了自己疑问：“把半块月饼表示成2／1，难道不行吗？”经过分析、比较、交流、反思，师生共同客观评价了这些表示方法，图1中的几个图都具有共同的特点：平均分；分2份；取1份。学生逐渐明确：表示“一半“的数学符号也必须包含这三层意思。经过筛选，他们得出了约定的标准写法，　即1／2。这里，借助直观形象的图形，学生发现了分母、分子、分数线所隐含的意义，并在多种表示方法的对比中，体会了用1／2表示一半的简约性和科学性，初步理解了分数的意义。
　　上述片段中，学生在探索半块饼的表示方法时，经历了从实际问题中抽象出分数的过程，学生在具体、形象的图形中通过观察、实验、比较、推理等活动加深了对分数内涵的理解。这样，巧用几何直观，引导学生学会用画图解释所学的知识，利用数学符号和图形的描述，依托鲜活的“形”去思考凝练的“数”，既丰富了学生的感性认识，又促使学生主动探索，有效地培养了直觉思维、猜测、转换、构造等能力，进而提高了数学素养。
　　三、借助操作活动，感悟概念本质
　　数学概念是抽象的，学生形成数学概念，一般都要有相应的感性经验为基础，经历“直观感知—建立表象—揭示本质属性”三个阶段。小学生的思维主要是以形象思维为主，要使学生真正获得概念，教师应站在学生思维的角度，关注概念的体验过程，将抽象的概念转化为可操作的直观化、简单化的具体内容；为学生提供观察和操作的机会，让学生多种感官参与学习，在感知体验中建立正确、清晰、深刻的表象，透彻理解数学概念内涵。因此，在教学中教师要为学生提供典型的、熟悉的感性材料，把概念的建构过程设计成看得见、摸得着、悟得到的活动过程。保证学生有足够的时间和空间去观察、实验、猜测、推理和验证，在动口、动手、动脑中去学习、思考和发现。要让学生在观察、操作、交流、实践等活动中接触有关情境和实例，在现实背景中去体会概念的产生、形成与发展过程，进而理解和感悟概念的本质。
　　在引导学生“进一步体会分数的意义”这个环节，为了让学生充分经历分数的形成过程，创造更多的分数，我为学生设计了下面三个操作活动。
　　【活动一】折一折、画一画。先从三角形、长方形、正方形、圆形纸片中任选一张，然后把小熊分到半块饼的过程折出来（如图2），把“一半”涂上颜色，表示该图形的1／2；最后在小组内交流折法和画法，并在全班进行展示汇报。

　　【活动二】折一折，涂一涂。将学具袋中的正方形纸片平均折成4份，并将自己想要的分数涂上颜色，然后交流、展示，说说自己是怎样创造出这个分数的。（如图3）

　　【活动三】折纸找分数。选择一张自己喜欢的纸（学具袋里为学生准备不同形状的纸，如图4），先想出一个分数，想想怎样折，然后涂上颜色表示出这个分数。最后同桌交流、展示，说说自己创造的是几分之几，是怎样创造出来的。

　　以上三个活动中，我为学生提供了丰富的动手实践机会。通过折一折、涂一涂、议一议等活动，学生经历了分数的建构过程，他们在动手中思考，在思考中动手。这些丰富而真实的感性材料把原本抽象、复杂的数学知识变得直观、简单，学生通过操作、感知、分析、比较、归纳等活动实现了由形象思维向抽象思维的过渡，进一步直观理解了分数的意义——分数是表示图形的涂色部分与整个图形之间的关系。这样，学生经过多元的体验感知，加深了对分数的认识和理解，感悟了概念的本质，开拓了思维的广度。
　　四、巧用教学资源，建构概念模型
　　思维是数学认知的核心内容之一，要开启学生的思维，需要把教材的知识内容转化为学生内在的认知。其中，最直接的办法就是采用有效的教学手段帮助学生建构“数学模型”。对于概念教学而言，建模的过程实际上就是让学生经历观察、思考、归类、抽象与总结的“数学化”与“再创造”过程，最终形成他们对数学概念的理解。要让学生经历从现实事物表象到其本质特征，再到数学概念的定义和名称的创造过程，进而领会数学概念的意义、内涵和外延。这样，学生不仅能认识到概念是怎样的，而且能明白概念为什么是这样的。在教学过程中，我们要尽可能为学生提供丰富的教学资源，引导学生去思考、讨论、自由表达。可以借助举例、比喻、联想等方法，寻求某种具体形象化的支撑，将抽象的数学概念具体化，形象化。要通过有效引导，使学生经历抽象、简化、假设、分析与比较的思维过程，把那些反映概念本质属性的形态、量及其关系抽象出来用数学方式表达，使他们亲身经历数学模型的创建过程，从中认识新问题，同化新知识，完善认知结构，发展数学思维。
　　在引导学生“建构分数模型”这个环节，学生通过操作，明白把1块饼平均分成2份，每份是这块饼的1／2后，我让学生从学具袋中拿出一张正方形纸进行对折，用自己喜欢的颜色涂出它的1／2，并在小组内说一说：把（　　）平均分成了（　　）份，每份是（　　）的（　　）。学生汇报时，出现将正方形纸对角折、上下对折、左右对折三种情况，并把它的1／2涂上了颜色。（如图5）

　　师：刚才同学们折正方形纸方法不同，但涂色部分都是表示这张正方形纸的1／2，这是为什么呢？ 
　　生：我们都是把这张正方形纸对折，变成2份，涂色部分是其中的1份。
　　师：是的，对折是为了什么？也就是刚才我们强调的一个概念。
　　生：平均分。
　　师：对，不管你是怎样对折，都是把这张正方形纸平均分成2份，每一份就是它的1／2。下面，老师出一道题考考大家，看看同学们对是不是真正理解了。
　　练一练：用1／2表示下列图形中的涂色部分，对吗？说明理由。（如图6）

　　生：第1个图和第5个图的涂色部分不能用1／2表示，因为没有把图形平均分。
　　生：第4个图的涂色部分也不能用[12]表示，应该用1／4表示。 
　　师：你能从刚才1／2的学习中联想到一个新的分数，真聪明。想一想，利用这张正方纸片你还能折出哪些分数？你能说出这些分数表示的意义吗？
　　生：我能创造出3／4，就是把这张正方形纸上下对折，左右对折，平均分成4份，其中的3份就是这张正方形纸的3／4。
　　生：我能创造出5／6，我把这张纸片平均分成6份，其中的5份是这张正方形纸的5／6。
　　生：我能创造出3／8，我将这张纸平均分成8份，其中的3份是这张纸的3／8。
　　通过组织学生动手操作、合作交流，在观察、操作、推理、想象等活动中引导学生抓住本质，将其思维引向深入。学生通过迁移、联想到3／4、5／6、3／8、……扩充了获取信息的渠道。在讨论、交流中引导学生提炼出数学模型，适度抽象概括出了“把一个物体或一个图形平均分成若干份，其中的1份或几份可以用分数表示”这一分数的概念。此外，还让学生亲身经历了将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，享受到了学习数学的乐趣，从而形成了自觉的建模意识和思想。

（作者单位：广东省梅州市平远县教师发展中心）
（责任编辑：杨强）