本期精选丨以几何直观视角指导学生解决问题的实践研究

       运用画图策略解题时，需要教师采用多种方式精心组织学生训练，引导学生置身于具体的学习素材中，通过多种形式体悟图意，逐步养成“心中有图、见题想图”的思维习惯。

       （一）结构化图式

       1.一题结构多图

       教师可以引导学生把一个问题用多个图来表征，找出相同点，进行深入思考，在此过程中发现本质特征。教学中常用的示意图有点子图、积木图小立方体图、小棒图、方格图、计数器图、算盘图、靶子图、人民币图，等等。

        【案例4】 “千以内数的认识”教学片段

       请你用不同的图来表示235。

       讨论：对比这几种方法，说一说它们之间的联系。

       以上5种图，虽然种类不一样，但是表示的数都是235。教师通过不同的图让学生体验到235是由2个百、3个十和5个一组成的这一本质特征，清晰地了解了计数单位一、十、百……的优点；帮助学生将计数单位与具体的形状联系起来，使学生在头脑中形成数的概念，也促进了数学活动经验的提升，为后续学习大数积累经验。

       2.多题结构一图

       教师可以对数量关系相同的问题进行结构化，引导学生把同一类问题整合到一幅图中加以思考，理解这类问题的数量关系，找到解决方法。

       【案例5】“倍”教学片段

       一本笔记本6元，4本笔记本多少元？一个小组8人，4个小组多少人？文具盒25元，书包的价格是文具盒的4倍。书包的价格是多少元？4个9是多少？请用图表示以上问题。

       学生画出各种各样含有4倍关系的图，通过比较发现，这四个问题可以用同一幅图来表示。“不论数据的大小和线段的长短，只要两个量具有4倍关系”这一本质特征，为学生构建了倍数关系的直观模型。

       （二）分层化图式

       学生解决问题是一个主动的、复杂的认识过程，也是从具体到抽象的过程。为此，在画图过程中，教师要发挥主导作用，引导学生把信息分层图示化，厘清数量关系，促进问题解决，生成高阶思维。

       【案例6】“乘法的初步认识”教学片段

       用图表示3 × 5，学生作品如下。

       方法1：○○○　○○○　○○○　○○○

                    ○○○　　5个3

       方法2：○○○○○　○○○○○　

                    ○○○○○　　3个5

       方法3：○○○○○

             ○○○○○  →  横着看表示 3个5

             ○○○○○  ↓   竖着看表示 5个3

       方法4：

       这4个方法都能表示3 × 5，但方法3能把乘法的两种意义在同一幅图中表达出来；方法4借助长方形图表示，将数与形完美结合，为后续学习长方形面积做好了铺垫，思维层次更高。

       （三）系统化图式

       在问题解决中，针对例题，教师可以设计一些开放题，让学生通过归类、整理，用系统化的图示表征出来，以便于使知识变得系统化。

       【案例7】“集合”教学片段

       三年级（1）班如果有4人喜欢跳远，6人喜欢跑步，那么喜欢跳远和跑步的同学一共可能有多少人？先画图，再列式计算。学生通过画图整理发现有5种可能。

       在画集合图的过程中，学生进一步理解了中间重叠部分是两部分共有的，其他部分是独有的。此题通过逆向思维，让学生根据所给的数据，推测出各种可能，在一道题中解决了并集、交集等多种情况，理解了包含、不包含之间的关系，帮助学生对集合的认识提高了一个层次，提升了学生的系统化思维。

三、注重巧妙转化，发展数学思想

       几何直观有助于将抽象的数学对象直观化、可视化，有助于培养学生的数学直观领悟能力。在教学中，教师需要注重数与形的巧妙转化，寻找构建数学问题的直观模型，发展学生的数学思想。

       （一）图象与概念对应，发展推理思想

       推理是数学的一种基本思想，也是数学直观的精髓。几何直观的教学，不仅只是用图表直观表征数学知识，更重要的是寻找图象与概念之间的对应关系，鼓励学生主动尝试分析、想象、推理、验证，进而洞察数学对象的本质特征，获得数学结论。

       【案例8】“商不变的性质”教学片段

       1.以情境激发兴趣

       创设情境：老师把4个草莓平均分给2个小朋友，每个小朋友分几个？老师把40个草莓平均分给20个小朋友，每个小朋友分几个？老师把400个草莓平均分给200个小朋友，每个小朋友分几个？

       教师先请学生列式计算，再观察发现了什么。学生发现，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

       2.在坐标图上找算式

       文具店有一种彩带的销售情况如图2所示。

       图上的每个点表示什么意思？请你找到商不变的算式写下来，至少写三个。比较三组算式，发现商不变的规律。连接图中的点，你发现了什么？

       在教学中，教师在分草莓之后，先引导学生初步认识商不变的性质。接着，教师借助直观图，引导 学生进一步认识商不变的性质。然后，教师引导学生观察坐标图中的点，寻找商不变的算式，从而构建了商与点的对应关系。最后，学生将表示商的点连接起来，发现了商不变性质的图象。学生在建立图象与概念的对应关系时，经历了观察、比较与推理，发展了推理的基本数学思想。

       （二）巧妙运用，深化模型思想

       在数学教学中，当学生遇到学习困难时，教师需要引导学生往前探一探，转化成以前学过的知识，让他们由浅入深，在自主探究、合作交流中发现数学规律，初步形成模型观念，提高解决问题的能力。

       【案例9】 “乘法分配律”教学片段

       “乘法分配律”一直是教学中的难点，笔者在执教时，引领学生往前探一探，回忆以前学过的长方形周长的计算方法，引导学生用小棒摆一摆，说一说。学生根据长方形周长的计算方法，小棒的摆放情况如图3。

       学生感悟到摆小棒的方法，即“分配”的过程。

       1.找一找，之前遇到的乘法分配律

       教师引导学生先回顾一年级学习的减法口算，二年级学习的乘法口诀，三年级学习的乘法口算，四年级学习的行程问题，观察并发现乘法分配律。

       2.算一算，你发现了什么

       C级题：学校花坛的左边摆了3行月季花，每行有6盆，右边摆了3行菊花，每行有4盆，一共摆放了多少盆花？

       先画图再计算。

○○○○○○   　○○○○

○○○○○○   　○○○○

○○○○○○   　○○○○

       B级题：一块长方形菜地，长25米，宽8米，现在新开垦后菜地的宽延长2米，长不变，开垦后的新菜地面积有多大？

       A级题：李大爷家有一块菜地，这块菜地的面积有多少平方米？

       在教学中，教师引导学生借助小棒图、点子图、珠子图、长方形周长与面积图，发现两种方法的计算结果相等，帮助学生直观地建立起乘法分配的数学模型（a + b） × c = a × c + b × c。当学生以后遇到没学过的题目时，就会想到用乘法分配律去思考。

       总之，用几何直观的理念指导数学教学，不仅能让学生获得画图解题的方法，更重要的是帮助学生提高用几何图形形象地描述和分析问题的能力。教师要让学生在画图的过程中有效经历自主解决问题的过程，同时直观理解数学，发展思维能力。